Makalah Statistika-Hipotesis rata-rata satu populasi

UJI HIPOTESIS

Hipotesis adalah dugaan (penaksiran) sementara mengenai suatu hal, melalui sekelompok sampel yang terukur,untuk menjelaskan populasinya, tetapi kebenarannya belum teruji. Pembuktian di lakukan melalui pengukuran dan analisa terhadap sampel yang di ambil dari populasi, baik secara sensus ataupun sampling.

Perumusan hipotesis diarahkan pada besaran-besaran statistik  yang terukur dan digunakan untuk menaksir parameter populasinya. Hipotesis ini disebut sebagai hipotesis statistik (H₀).

H₀  ada karena adanya sampel. Bila penelitian tidak menggunakan sampel, tetapi dilakukan berdasarkan sensus (seluruh elemen populasi diukur) maka H₀ tidak ada. Hipotesis yang di uji pada penelitian yang demikian adalah hipotesis kerja yaitu hipotesis yang dibuat berdasarkan kondisi teoritis dan empiris (variabilitas) yang menjadi telaah pada populasi tersebut. Pengujian hipotesis ini tidak menggunakan kata signifikansi.

Prosedur Pengujian Hipotesis (H₀)

Pengujian hipotesis dilakukan untuk menerima atau menolak besaran statistik yang diuji, dengan membandingkannya terhadap besaran parameter yang telah terstandar pada tabel-tabel statistik.

Bila yang diuji statistik t, maka pembandingnya adalah parameter t pada tabel statistik, demikian juga statistik lainnya.

Pengujian H₀ dengan pasangannya H_A menentukan daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis yang dinyatakan sebagai daerah kritis.

Pengujian parameter  (bisa rata-rata, proporsi, standar deviasi, korelasi, chi kuadrat atau nilai Fisher). Dengan cara mengajukan argumentasi sebagai berikut.

1.       H₀  :  =  ₀ ; tidak ada perbedaan yang signifikan antara parameter Ө dengan Ө₀  standar (misalnya tidak terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara statistik dengan parameter).

H_{A :}  ≠  ₀ ; terdapat perbedaan yang signifikan antara parameter Ө dengan Ө₀ standar.

2.       H₀ :  ≤  ₀ ; kondisi parameter yang diuji paling tidak akan sama atau telah kurang dari kondisi awal.

H_A :  >  ₀ ; kondisi parameter yang diuji telah bertambah dari kondisi awalnya atau sebaliknya.

3.       H₀  :  ≥  ₀ ; kondisi parameter yang diuji, paling tidak telah bertambah atau sama dengan keadaan awalnya.

H_A :  <  ₀ ; kondisi parameter telah berkurang dari awalnya.

Notasi ini mengisyaratkan agar pengujian hipotesis (H₀) tidak tertukar dengan hipotesis kerja. Pengujian dilakukan terhadap H₀ tidak boleh ditukar dengan H_A.

Oleh karena itu, diperlukan dukungan yang rasional dari teori-teori pendukung variabel tersebut ataupun premis-prenis yang di dukung oleh dalil-dalil akurat, tentang variabel yang di ukur untuk mendapatkan besaran statistik. Bentuk statistik yang diuji Z_h ,t_h , χ_h² ,F_h (h = hasil hitungan) dibandingkan dengan z_tab, t_tab, χ²_tab, F_tab (tab = tabel).

Taraf nyata α dihitung berdasarkan interpolasi nilai tabel yang berdekatan dengan nilai statistiknya, di bagian awal telah di bicarakan tentang perhitungan p-value, dengan rumus:

p-v=α₁ – (α₁ – α₂)

 _i = parameter stasistik diperoleh dari tabel

 _h =statistik hasil perhitungan

α_i = taraf nyata (peluang kesalahan) yang nilai  _i nya berdekatan dengan nilai  _h.

p-v = peluang membuat kesalahan dalam menolak H₀ , pada hal H₀ benar, pengujian berdasarkan   sampel.

Peranan H_A  dalam menentukan daerah kritis di antaranya :

1.       Untuk H_A bertanda ≠, bertanda dua daerah kritis, masing-masing pada tiap ujung adalah ½ α atau ½ p-v yang dihitung. Karena ada dua daerah penolakan, maka pengujian hipotesisnya di namakan uji dua pihak.

Gambar diatas menunjukkan sketsa distribusi yang digunakan untuk menentukan daerah penerimaan H₀ dan daerah penolakan H₀.

Kedua daerah terrsebut dibatasi oleh  _h1 dan  _h2. Penerimaan H₀ apabila p-v ≥ α = 0,05. Sebaliknya H₀ ditolak apabila p-v < 0,05.

Peranan p-v dalam pengujian H₀ adalah sebagai tingkat keberanian untuk menolak H₀. Jika H₀ ditolak padahal H₀ benar, dasarnya sampel, maka akan berhadapan dengan resiko kesalahan sebesar p-value.

Jika resiko kesalahan p-value > 0,05 sebaiknya H₀ diterima, karena > 5% dari sampel membuat error.

2.       Untuk H_A bertanda > ,daerah kritis ada di sebelah kanan kurva pengujian, di lakukan uji pihak kanan daerah kritis berada di sebelah kanan p-v.

Interpolasi nilai p-v pada tabel :

3.       Untuk H_A bertanda < ,maka daerah kitis ada di sebelah kiri kurva pengujian, dilakukan uji pihak kiri.

Daerah kritis berada di sebelah kiri p-v, dengan interpolasi seperti di atas, tolak H₀ apabila p-v < 0,05.

Dua Jenis Kekeliruan Pengujian Hipotesis

Pengujian kebenaran hipotesis bukan membuktikan kebenaran, tetapi menerima atau menolak kebenaran berdasarkan sampel.

Dalam melakukan pengujian ada dua kemungkinan kesalahan (kekeliruan) yang dapat terjadi. Statistik menyatakan sebagai berikut :

1.       Kekeliruan I : menolak hipotes yang seharusnya diterima

2.        Kekeliruan II : menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Pada pengujian hipotesis, sebaiknya kekeliruan ini harus di buat sekecil mungkin (tergantung keberanian peneliti dan kondisi variabel yang diuji). Kedua macam kekeliruan ini di nyatakan dalam bentuk peluang (p-value = probabilitas value). Kekeliruan I dinyatakan dengan α dan kakaliruan II dengan β. α disebut sebagai taraf signifikansi atau taraf nyata. Nilai α atau p-value maupun β yang diterima dalam pengambilan kesimpulan, ditentukan oleh efek atas terjadinya kekeliruan. Untuk α = 0,05 artinya 5 dari 100 akan gagal.

Hipotesis Uji Rata-rata µ

Dari populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan standar deviasi σ, akan di uji berdasarkan sampel acak berukuran n dangan rata-rata  dan standar deviasi S. Bila σ diketahui digunakan uji z, yaitu :

Z =

Bila σ tidak diketahui digunakan uji t, yaitu :

t =  

Pada umumnya σ tidak diketahui, sehingga pengujian di lakukan melalui S yang diperoleh dari sampel acak, seperti rumus t diatas.

Contoh:

1.       Pabrik busi menyatakan bahwa, businya mampu bekerja selama 8000 jam dengan σ = 60 jam, untuk mengujinya diambil 50 motor yang menggunakan busi tersebut. Di dapat rata-rata pemakaian busi 7985 jam. Coba periksa apakah pernyataan pabrik itu benar ?

Jawab:

                H₀ : µ = 8000 jam

                H_A : µ ≠ 8000 jam

                σ = 60 jam

                x =7.985 jam

                n = 50

Nilai z :

                z =  = -1,768

Interpolasi pada tabel:

Z₁ = -1,76             ½ α₁ = 0,5 - 0,4608 = 0,0392

Z₂ = -1,77             α₂ = 0,5 – 0,4616 = 0,0384

p-v = α₁ – (α₁ – α₂)

       = 0,0392 – 0,0008 ( )

       = 0,0392 – 0,0008 ( )

p-v = ½ α ; maka α = 2.p-v = 0,0764

Karena pengujian dua pihak menghasilkan p-v = 0,0764 > 0,05, maka jika H₀ ditolak, padahal H₀ benar, akan berhadapan dengan resiko, dengan peluang 0,0764. Resiko ini terlalu besar, dengan demikian H₀ diterima pada taraf signifikansi α = 0,0764 atau 7,64%.

Uji Pihak Kanan

Hipotesis yang diajukan untuk uji pihak kanan adalah

H₀ :   ₀

H_A : ₀

Dengan asumsi populasi berdistribusi normal, sampel representatif berukuran n di mana n/N < 0,05 dan rata-rata dan standar deviasi. Perubahan di harapkan positif (bertambah besar).

a.       Bila diketahui, pengujian dengan rumus :

z =

Contoh:

Suatu industri menganjurkan agar mesin-mesin lama yang produksi rata-ratanya 15,7 unit per jam, dengan varian 2,3 diganti dengan mesin-mesin baru yang berproduksi rata-rata 16 unit per jam. Percobaan dilakukan terhadap 20 mesin baru dengan hasil 16,9 unit per jam. Bila direktur perindustrian berani mengambil resiko 5% untuk menggunakan mesin baru dengan rata-rata paling sedikit 16 unit per jamnya. Apa keputusnnya ?

Jawab:

H₀ : µ ≤ 16 unit/jam (paling banyak 16 unit /jam)

H_A : µ > 16 unit/jam (paling sedikit 16 unit/jam)

µ = 16    ; σ² = 2,3

x = 16,9 ; n = 20

di dapat:

                z =  = 2,654

Menurut tabel, ini pada interval:

Z₁  = 2,65 dengan σ₁ = 0,5 – 0,496 = 0,004

Z₂ = 2,66 dengan α₂ = 0,5 – 0,4961 = 0,0039

p-v=α₁ – (α₁ – α₂)

      =0,004 – 0,0001( )

      =0,004 – 0,0001 ( )

                p-v= 0,00396

                Jika H₀ di tolak padahal H₀ benar, akan berhadapan dengan resiko dengan peluang 0,004. Resiko itu kurang dari 5%. Oleh karena itu H₀ ditolak. Mesin baru tersebut dapat berproduksi paling sedikit 16 unit/jam.

                Resiko hanya 0,4%, jauh bila dibandingkan dengan keberanian direktur, yaitu 5%. Dengan α=0,05 tersebut, sebenarnya harga rata-rata yang di inginkan direktur adalah:

Z_0,95  = 1,645

                Z =

       1,645 =

          x-16 = 0,56

                x = 16,56

Dari 20 mesin yang dicoba, paling sedikit mencapai rata-rata: 16,56 unit/jam.

b.      Bila tidak diketahui, pengujian dengan rumus :

t =  

Contoh:

Seperti soal di atas:

σ tidak diketahui oleh perusahaan. Dari 20 percobaan didapat S² = 2,8

Jawab:

Pengujian: H₀ : µ ≤ 16

                    H_A : µ > 16

                    µ = 16  ; X = 16,9

                    N = 20 ; S² = 2,8

Jadi: t =  = 2,4053

Untuk dk = 20-1 = 19 nilai tabel yang dekat adalah:

                α₁ = 0,025            t₁ = 2,26

                α₂ = 0,01              t₂ = 2,82

Jika H₀ ditolak, berhadapan dengan resiko 0,0211. Resiko ini kecil, jadi H₀ ditolak pada taraf nyata 0,0211 atau 2,11%. Resiko yang diajukan 5%, jadi resiko 2,11% lebih kecil dari resiko yang diajukan direktur. Mesin baru boleh digunakan.

Uji Pihak Kiri

Hipotesis yang diajukan untuk uji pihak kiri adalah:

H₀ : µ ≥ µ₀

H_A : µ < µ₀

Dengan asumsi populasi berdistribusi normal, representatif berukuran n dengan n/N = 0,05. Perubahan di harapkan negatif (berkurang ditinjau dari kondisi semula).

a.       Bila diketahui, pengujian dengan rumus :

Z =

Contoh:

Pabrik susu kaleng menyetel mesin untuk produknya dengan rata-rata 0,5 kg dan standar deviasi 0,02 kg. Untuk membuktikan kebenarannya (agar tidak merugikan masyarakat) diambil sampel sebanyak 23 kaleng susu dan menghasilkan rata-rata 0,49 kg.

Apakah persyaratan isi kaleng pabrik tersebut benar ?

Jawab:

µ = 0,5 kg

σ = 0,02 kg

n= 2,3

x = 0,49

z=  = -2,398

Menurut tabel, ini berada pada

Z₁ = 2,39 dengan α₁ = 0,0084

Z₂ = 2,40 dengan α₂ = 0,0082

Nilai p-value

p-v = 0,0084 – 0,0002 ( )

       = 0,0084 – 0,0002 ( )

       = 0,00824

Karena p-v = 0,00824 < 0,05, maka H₀ ditolak dengan peluang 0,00824 kesalahan menolak H₀ padahal H₀ benar.

Kesimpulan, isi kaleng tidak lagi sesuai dengan etiket 0,5 kg tetapi telah berkurang. Hal ini merugikan masyarakat rata-rata 0,01 kg tiap kalengnya atau 1 kg untuk 100 kaleng.

b.      Bila tidak diketahui, pengujian dengan rumus :

t =  

dari contoh di atas, bila σ tidak diketahui dan dari hasil pengukuran 23 kaleng tersebut didapat isi rata-rata 0,49 kg dengan standar deviasi S = 0,025 kg.

Jawab:

µ = 0,5 kg

x = 0,49 kg

S = 0,025 kg

N = 23 kaleng

                t =  = -1,9183

dengan dk = 22, nilai yang dekat dengan t_h adalah:

                α₁ = 0,05              t₁ = 1,72

                α₂ = 0,025            t₂ = 2,07

p-v = 0,05- 0,025 ( )

       = 0,05- 0,025 ( )

       = 0,023584

p-v = 0,03584 < 0,05 oleh sebab itu H₀ ditolak, isi kaleng tidak sama dengan etiket 0,5 kg, pada taraf nyata α = 0,0358 atau 3,58%. Sampel menyatakan masyarakat telah dirugikan.

Pengujian Hipotesis tentang Proporsi

Uji Dua Pihak

Untuk populasi berdistribusi binomial, dengan proporsi peristiwa X = , dengan asumsi populasi berdistribusi normal, sampel representatif berukuran n, dapat diajukan hipotesis sebagai berikut:

H₀ : ₀

H₀  : ₀

Dengan ₀ suatu nilai yang diketahui, sesuai kondisi populasi. Proporsi peristiwa X dalam sampel adalah X/n. Pengujian ₁ dilakukan dengan pendekatan distribusi normal yaitu statistik z dengan rumus:

z =  - ₀

      

p =

q = 1-

kriteria pengujian tolak H₀ jika p-value < 0,05.

Contoh:

Diduga bahwa jenis kelamin laki-laki dan perempuan di SMU adalah seimbang. Sampel acak dari 10 SMU, mendapatkan 4.800 siswa yang 2.558 siswanya laki-laki.

Betulkah distribusi jenis kelamin siswa itu ?

Jawab:

H₀ :

H_A :

X = 2458

N = 4800 ; p = 2458/4800 = 0,5121

Didapat:

                Z =  = 1,6766

Uji dua pihak:

Nilai z = 1,6766, berada pada interval:

                Z₁ = 1,67 dengan α₁ = 0,0475

                Z₂ = 1,68 dengan α₂ = 0,0465

p-v = 0,0475 – 0,0010 ( )

       = 0,04684

Karena uji dua pihak maka p-v = 2. 0,04684 = 0,09378.

Nilai ini melebihi 0,05. Riskan untuk menolak H₀ ,jadi H₀ diterima pada taraf nyata 0,09278.

Kesimpulan, distribusi siswa laki-laki dan perempuan seimbang.

Uji Satu Pihak

Pengujian untuk menentukan apakah terjadi perubahan positif pada populasi atau perubahan negatif. Peristiwa atau karakteristik yang diuji dalam bentuk proporsi. Karena menggunakan asumsi bahwa proporsi yang terjadi pada sampel berdistribusi binomial dan berdistribusi normal, maka penyajian dilakukan dengan statistik z, yaitu :

z = p - ₀

          ; p = x/n

H₀ : ₀

H_A : ₀

Kriteria pengujian tolak H₀ jika p-value < 0,05.

Contoh:

Paling banyak 60% siswa yang memiliki literatur pokok secara langkap. Untuk pengujian diambil 8.500 siswa dari berbagai siswa pada tingkatan yang sama. Ternyata 5.426 siswa memiliki literatur secara lengkap.

Benarkah pernyataan tersebut ?

Jawab:

H₀ : ₀ ≤ 0,60

H_A : ₀ > 0,60

X = 5426

N = 8500  ;

(1-
p =  =  = 0,6384

Z =  =  = 7,223

Harga z = 7,223 praktis tidak ada dalam tabel, sehingga dapat di nyatakan, p-v = 0,000. Artinya, pengujian sangat berarti. Kesimpulan siswa yang memiliki literatur secara lengkap telah melebihi dari 60% dari yang diduga.

Uji Pihak Kiri (Proporsi berkurang)

Contoh :

                30% dari siswa dinyatakan bermasalah, mengalami kesulitan belajar matematika, untuk itu dilakukan bimbingan belajar. Setelah ujian di ambil sampel sebanyak n = 425 siswa, ternyata 120 orang masih mengalami kegagalan.

Coba uji apakah  bimbingan belajar yang dilakukan dapat menurunkan proporsi gagal belajar.

Jawab:

H₀ : ₀

H_A : ₀ <

n = 425 ; x = 120

₀  ; q = (1- ₀  = 0,70

P =  =  = 0,2824

z =

   = -0,8147

Nilai z= 0,8147 berada pada interval:

                Z₁ = 0,81 dengan α₁ = 0,209

                Z₂ = 0,82 dengan α₂ = 0,2061

p-v = 0,209 – 0,002 ( )

       = 0,19537

Nilai p-v = 0,19537 > 0,05

Jika H₀ ditolak, padahal H₀ benar, akan berhadapan dengan resiko 0,19537, karena dasarnya sampel. Resiko ini terlalu tinggi, oleh karena itu sebaiknya H₀ diterima.

Artinya, bimbingan belajar tidak dapat menurunkan proporsi kesulitan belajar matematika bagi siswa.

Pengujian Hipotesis tentang Varian Data

Untuk populasi berdistribusi normal berukuran N dan varian ², bila sampel yang diambil darinya berukuran n dengan varian S, apakah sampel tersebut dapat menunjukkan sifat-sifat populasi yang di ukur itu ?

Pengujian dilakukan dengan menyajikan hipotesis:

                H₀ : ² = σ₀²

                        H_A : ²  σ₀²

a.       Pengujian dua pihak, dengan uji statistik ²

Χ_h² = (n-1) S²

                   ²

Kriteria pengujian tolak H₀ jika p-v < 0,05.

Contoh:

Dari contoh sebelumnya, masa pakai busi dengan σ = 60 jam. Sampel berukuran n= 50 degan S = 55 jam. Benarkah σ = 60 jam ?

Jawab:

H₀ : ² = 3600 jam

                        H_A : ²  < 3600 jam

                N = 50 ;S= 55 jam

                _h² = (50- 1)  = 41,1736

Untuk dk = 49 nilai ini berada pada interval

α₁ = 0,90  dengan χ₁² = 37,7

α₂ = 0,75  denagn χ₂² = 42,9

p-v = 0,90 – 0,15 ( )

       = 0,7998

Penolakan H₀ akan menghadapi resiko dengan peluang 0,7998 . H₀ diterima.

Kesimpulan: benar, sampel itu berasal dari populasi dengan σ = 60.

b.      Pengujian satu pihak dangan uji statistik χ²

Menurut koefisien varian, semakin kecil harga r_v (koefisien varian), sampel semakin homogen atau tingkat kebervariasian data kecil. Untuk menguji spsksh varian suatu sampel lebih baik dari populasinya dilakukan uji χ² seperti di atas, dengan menyajikan hipotesis, untuk uji pihak kanan:

H₀ : ² ≤ σ₀² dan H_A : ² > σ₀²

Kriteria pengujian tolak H₀ jika p-v < 0,05. Sedangkan untuk uji pihak kiri digunakan hipotesis:

 H₀ : ² ≥ σ₀² dan H_A : ² < σ₀²

Kriteria pengujian tolak H₀ jika p-v < 0,05